Rincez les aubergines, coupez-les en cubes. Mettez-les dans une passoire et saupoudrez-les de gros sel. Laissez-les dégorger 30 min. Ébouillantez les tomates, refroidissez-les. Ôtez les graines et hachez la pulpe.
Rincez les cubes d’aubergines et épongez-les. Faites-les dorer 7 à 8 min dans une sauteuse huilée. Réservez. Mettez les oignons émincés et le céleri coupés en rondelles dans la sauteuse, faites-les blondir 3 min à feu doux. Ajoutez les tomates et mélangez. Ajoutez le vinaigre et le sucre. Salez et laissez réduire à feu doux 15 min en remuant.
Remettez les aubergines dans la sauteuse. Portez à ébullition puis ajoutez les câpres et les olives. Faites cuire doucement encore 5 min.
Laissez reposer la caponata 12 h au frais. Sortez la 1 h avant de servir. Ajoutez le Reblochon en morceaux, parsemez de basilic ciselé et de croûtons de pain.