Epluchez la carotte, l’oignon et les gousses d’ail. Coupez-les en tous petits morceaux, ainsi que la branche de céleri.
Faites revenir les légumes dans le beurre à feu doux pendant 10 minutes. Ajoutez la viande et cuisez sur feu vif pendant encore 5 minutes ,en émiettant bien la viande avec une cuillère en bois. Salez, poivrez et ajoutez la purée de tomate, le lait, la crème et le thym. Mélangez et laissez cuire à frémissement le temps de préparer le reste.
Faites chauffer une casserole d’eau salée. A ébullition, ajoutez les conchiglioni et laissez cuire la moitié du temps indiqué sur le paquet. Egouttez et passez sous l’eau froide.
Dans un bol, mélangez le fromage à tartiner avec le comté râpé et la moitié de la tomme de Savoie coupée en petits morceaux. Ajoutez l’œuf, du poivre, de la muscade.
Versez, les 3/4 de la sauce tomate dans un plat à gratin. Farcissez les conchiglioni avec la préparation au fromage et disposez-les sur la sauce, ajoutez le reste de sauce et le reste de tomme de Savoie coupée en petits morceaux.
Faites cuire au four à 180°C pendant 25 minutes. Ajoutez du persil haché sur le dessus et servez.